2. 钱学森空间技术实验室, 北京 100094
2. Qian Xuesen Laboratory of Space Technology, Beijing 100094, China
激光雷达(light detection and ranging，LiDAR)[1-2]作为一种新兴的地球空间信息观测手段，其发射的激光脉冲能穿透植被直达地面，直接获得被观测对象的三维坐标及强度信息，被广泛地应用于数字地面模型、特征地物提取、三维建模等领域[3-5]。由于原始点云是由不同地形特征(地面、建筑物等)返回的大量离散点组合而成，并无语义信息或拓扑关联，因此在适用于上述应用之前，首先必须将地面和非地面点分离，这个过程称为点云滤波[3]。
在过去的20年里，学者们提出了很多经典的滤波算法[6-7]。基于滤波策略的不同，可以主要分为基于坡度滤波[8-9]、插值法滤波[10-16]、数学形态学滤波[17-19]和聚类分割法滤波[20-21]。文献[22]对8种滤波算法的性能进行了试验比较，其中基于插值法的不规则三角网(triangular irregular network，TIN[23])渐进加密算法[10](progressive TIN densification，PTD)性能最好，对于各种地形均有良好表现，但其在边界和地形复杂区域容易过度侵蚀地面；并且对极低异常值十分敏感，容易将低位地物点与极低异常值误判为地面点。针对以上问题，文献[21]选择法向量和残差作为依据进行点云分割，完善了初始TIN的构建，结合传统PTD方法进行滤波，有效抑制了地面侵蚀问题。文献[24]将数学形态学方法与PTD方法相结合，首先使用形态学中的开运算获得候选种子点，然后利用法向量和残差属性去除其中的非地面噪点，获取最终种子点，最后使用PTD滤波去除植被并保存地形细节。
然而，地形地物往往是尺度多样的，上文所描述的大多数算法仅仅在单一尺度下构建TIN，不能在保留地形细节和去除地物之间达成平衡，于复杂地形下难以获得理想的地面模型。为了增强PTD算法的滤波性能，本文提出了一种基于动态阈值的多尺度滤波方法：使用点云金字塔策略，在PTD滤波的基础之上，通过引入虚拟种子点以及表面拟合区域生长算法，在迭代循环过程中逐渐恢复真实地表。
1 原理与步骤相比于传统算法，本文算法的提升主要集中在3个方面：①使用了数据金字塔策略，以不同尺寸的虚拟格网组织点云，构建点云金字塔，并与三角网迭代滤波相结合，逐层加密，不断逼近真实地面；②扩展虚拟格网，插值虚拟种子点，使TIN完全覆盖点云区域，可有效补充边界区域；③采取“向上”“向下”的区域生长策略，补全受侵蚀地形，完善地形细节。
1.1 滤波流程本文的滤波算法是一个迭代处理过程，经过预处理之后，对整个区域构建点云金字塔，整个迭代顺序是从金字塔最上层(格网尺寸最大)开始，以最上层的种子点构建初始三角网，不断对下一层种子点进行PTD滤波和区域生长，不断获得更高分辨率的地面点，迭代加密三角网，直到最底层(格网尺寸最小)或者满足结束条件。其主要步骤可以分解为：
(1) 数据预处理，仅保留由末次回波生成的点云，并通过半径滤波器去除异常值。
(2) 最大格网尺寸对应金字塔最上层，按照格网尺寸减半的原则，自上而下构建点云金字塔，在每一层的虚拟格网中选取最低点作为种子点，可获得最上层的初始地面种子点以及其他层面的未分类点。
(3) 以当前地面种子点构建TIN，对下层格网未分类点进行PTD滤波处理。
(4) 将PTD滤波得到的非地面点重新设置为未分类点，遍历所有未分类点，以基于动态阈值的区域生长算法进行生长，实时更新地面种子点。
(5) 若生长的点数大于总点数0.1%，返回步骤(4)。
(6) 若未到达点云金字塔底层，则返回步骤(3)。
(7) 滤波结束。
算法流程如图 1所示。
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| 图 1 算法流程 Fig. 1 Flowchart of the algorithm |
1.2 去除异常值
LiDAR发射的激光脉冲具备一定穿透植被的能力，并且在照射至地物边缘时，依据光斑的照射位置，也可能产生多次回波，显然，只有末次回波才有可能反映地面的真实情况，因此，在进行滤波之前，首先去除非末次回波生成的点云。
由于多路径效应等干扰因素，LiDAR生成的点云数据往往会存在极低异常值，这些异常值通常数量较少，离散分布，且高程显著低于正常激光点。传统PTD中选择最大尺寸格网下的最低种子点构建初始TIN，极低异常值的存在使得初始TIN与真实地面差异巨大，造成局部滤波失败。基于异常值的特性，本文选取半径滤波器去除极低异常值，首先构建kd-tree[25]组织点云，遍历整个点云，搜索每个点在指定范围内的邻近点数，若邻近点数小于给定阈值，则判定为异常值并去除。
1.3 利用虚拟格网构建点云金字塔LiDAR点云数据包含大量拥有独立三维信息的离散点，将点云整合成有序的排列组合对于后续处理非常重要。文献[26]提出了虚拟格网的概念，其基本思想来自于图像处理中像素的概念，具体做法为：在XYZ三维空间中，将所有点云投影到XOY平面上，沿X、Y轴等距划分，将XOY平面分割成众多相同大小的正方形网格，这样点云中每个点对应一个网格，每个网格包含零或数个空间点。基于地面点往往低于非地面点的基本假设，选取格网内最低点作为种子点，以种子点来代表整个网格，形成由种子点构成的“像素”矩阵，其有序紧密的结构很方便进行邻域检索以及计算。为保证参与初次PTD滤波的种子点均为地面点，应保证初始格网尺寸大于点云中最大建筑物尺寸。在每一次迭代过程中，格网尺寸变为原本的1/2，重新构建的虚拟格网获得了更高的分辨率，显示出更加丰富的地形特征。随着格网尺寸不断变小，生成的虚拟格网分辨率也由低到高，组成了点云金字塔。
1.4 PTD滤波获得地面种子点之后，便可以进行PTD滤波，具体过程包括：
(1) 利用地面种子点构建TIN。
(2) 选择一个未分类点，寻找该点所在的三角形。
(3) 计算该点到三角形平面的距离s和该点与三角形3个角点的夹角，并选出最大角度θ，具体几何意义可参考图 2(c)。
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| 图 2 设置虚拟种子点 Fig. 2 Illutration of the process of setting simulated seed points |
(4) 根据人工设置的最大距离阈值sthr和最大角度阈值θthr，若距离s小于sthr且夹角θ小于θthr，即满足式(1)，则将该点加入地面点
(1)
(5) 重复步骤(2)至步骤(4)，直至所有未分类点都判别完毕。
然而在上述过程中会产生如下问题：受最大建筑尺寸影响，初始地面种子点往往十分稀疏，使得初始TIN无法完全覆盖整个点云区域，部分靠近边界的未分类点无法寻找到对应的三角形，从而导致边界区域成片缺失。文献[21]在点云测区的4个角添加模拟角点辅助构建TIN，如图 2(a)所示，这一定程度上解决了问题，但是在边界生成了狭长三角形，在模拟角点高程相差较大的情况下，极易将非地面点误判为地面点，并在迭代过程中不断造成误差累积。
本文针对以上问题对构建TIN的方式作出以下改进：对参与构网的种子点向外扩展延伸，具体做法如图 2(b)所示，大矩形内侧的虚线为原始点云的外边界，从4个边界各向外扩展一层新网格，扩展的虚拟网格与边界内的网格具有相同的尺寸，在每个扩展的网格中心内插一个虚拟种子点。其高程计算如下：搜索虚拟种子点的邻近格网，确定其中的地面种子点；假设地面种子点数为n(n≤3)，地面种子点的高程为hi(i=1, 2，…, n)，地面种子点与虚拟种子点的距离为di，di之和为d，幂p取2，可由式(2)反距离加权计算虚拟种子点的高程hs
(2)
PTD算法可以有效地剔除非地面点，但地形凸包、陡坡等复杂地形在滤波过程中受到了过度侵蚀，使得部分地面点被误判为非地面点。如图 4(a)所示，由于P1、P2存在较大高差，造成三角面倾斜，此时地面点P3与三角面的角度明显超过阈值。针对此问题，本文对PTD的分类结果进行二次处理，提取已经获得的地面点，并将非地面点重新判定为未分类点，以基于表面拟合的区域生长算法再次分类。整个生长过程分为向下生长和向上生长两个阶段。
1.5.1 向下生长点云滤波中存在一个基本规律：同一片区域中，一个点的高程越低，那么它是地面点的可能性越大。本文采取点云金字塔组织数据，获取的种子点本身为网格内高程最低点，当网格尺寸较大时，一个网格可以覆盖更多地面，此时种子点中地面点占比极高，假设已知某种子点为未分类点P，若邻近网格中存在至少一个地面点P0，且P0的高程大于P，则基本可以判定P也是地面点，遵循此假设可快速准确地向下生长地形关键点。但在迭代过程中随着网格尺寸逐渐缩小，种子点中非地面点的比例升高，先前的假设在面对一些特殊地形，尤其在斜坡上存在低矮植被时，会出现过度生长的情况，例如samp51(图 3)。在图 3(b)所示生长过程中，未分类点P2(植被点)高程比邻近地面点P1高程低，基于之前的假设，此时P2被误判为地面点，造成二类误差。为抑制此类情况，根据地形的特性，观察图 3(c)，在所示9个点中，除P2之外其余点均为地面点，P2高程低于P1、P4、P7，高于其余5个点，可以发现在过度生长的区域，非地面点在一定程度上会被高程更低的地面点包围。基于此判断，本文拓展出向下的生长策略：对未分类点周围的8个格网进行统计，确定其中的地面种子点，比较未分类点与地面种子点的高程，记高程大于未分类点的地面点数为nhigher，高程低于未分类点的地面点数为nlower，若满足式(3)则将未分类点加入地面点集
(3)
|
| 图 3 samp51地形图 Fig. 3 Topographic map of samp51 |
1.5.2 向上生长
PTD滤波的基本假设是当分辨率足够高时，局部地形可近似为一个平面。基于此假设，本文采用平面拟合的方式生长受侵蚀的地面种子点：利用已知的地面点，使用最小二乘法拟合平面，通过动态高差阈值对未分类点进行分类。在点云金字塔的单一层内，点云以虚拟格网形式排列，每个种子点仅有8个邻近点，因此在生长区域边界，未分类点的邻近地面种子点数普遍小于等于3，且分布于未分类点的同一侧。考虑到必须避免参与拟合的地面点排列近似一条直线的情况，本文将拟合的范围定为以未分类点为中心的5×5区块，在区块内已知地面种子点数大于等于6时，可进行平面拟合。
平面的方程可以写成如下形式
(4)
式中，(X, Y, Z)为点的三维坐标；a、b、c为平面参数。多点共面时，其矩阵形式可以写作
(5)
上面的乘积形式，即
(6)
式中，Z为地面点高程的列向量；X为平面参数的列向量；A为式(5)对应的系数矩阵。
根据正规方程求解拟合参数，经过转化可得
(7)
最终得到的X即为最小二乘解，代入式(4)即可获得所求平面。
根据笔者拟合出的平面，可以计算出未分类点与平面之间的距离d，通过与最大距离阈值dthr的对比可进行判断：d小于dthr的点为地面点，否则为非地面点。
对于平面拟合而言，大尺度时平面覆盖范围大，平面描述地形的能力较低，且非地面点与地面点可区分程度低，宜采用固定小阈值，本文采用PTD滤波时的最大距离阈值sthr；而随着覆盖范围逐渐减小，地形细节越来越丰富，非地面点与地面点可区分程度升高，此时单一阈值往往难以满足所有分类需求。为了更好地适应不同的地形，本文采取动态阈值设置方法，得到拟合的平面后，计算每个参与拟合的地面种子点到该平面的距离，经过统计可以获得均值dmean以及标准中误差dstd，采用正态分布模型，以2倍的中误差为波动范围计算动态阈值。本文选取网格尺寸l的经验值5 m作为算法阈值，动态阈值dthr计算如下
(8)
因此，在整个循环迭代中，首先是大平面获得了生长，随着格网尺寸的减小，小范围拟合面逐渐趋于平坦，如图 4(b)，凸包等复杂地形逐渐补全。然而上述方法遇到断裂线时，其表现往往不尽如人意，如图 4(c)所示，地形断裂造成地面的不连续现象，地面点P1、P2产生较大高差，使得拟合面与真实地面不符，断裂线边缘处地面点P3、P4超出阈值被误判为非地面点，因此滤波后往往会在断层处展现出“一刀切”的情况，即在一条直线上，地面点和非地面点分列两侧。针对此问题，本文借鉴梯度滤波的策略，补充以下判断法则：参考图 4(c)，如存在至少相邻3个地面点(P1及周围地面点)，他们与该未分类点的坡度保持平滑，可认为该分类点是地面点(P3)，或者有一个陡峭(P2)，但有至少两个坡度平滑的相邻地面点(P3和地面点周围点)，也可以认为该点是地面点(P4)。具体计算如下：若d大于dthr，搜索该未分类点的八邻域，确定其中的地面点，计算该未分类点与这些地面点的坡度，并与PTD最大迭代角度θthr进行比较，统计坡度小于θthr的地面点数nflat和坡度大于θthr的地面点数nslope，则满足以下条件的点也被识别为地面点
(9)
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| 图 4 地形简图 Fig. 4 Simple demonstration of terrain |
2 试验结果及分析
为了客观评价本文算法的滤波性能，本文采用ISPRS委员会第3小组于2003年提供的基准数据集来进行检验。数据是从7个站点选定的共计15个参考样本，这些样本经过半自动滤波与目视判别修正，已将所有点精准的划分为地面点与非地面点。另外采用文献[22]提出的3个精度指标定量分析算法精度，其中包括Ⅰ类误差(地面点误分为非地面点)、II类误差(非地面点误分为地面点)和总误差(Ⅰ、Ⅱ类误差点数占总点数的比例)，Ⅰ类误差反映算法保留地面点的性能，Ⅱ类误差反映算法去除非地面点的性能，总误差则整体反映算法的平衡性和实用性。同时本文还计算了Kappa系数[27]，此系数可以对比参考数据与试验数据的一致性，是一种比简单百分比更稳健的测度。以上4个精度指标仅基于交叉矩阵中的4个输入(a、b、c、d)计算，其中a为实际地面点被正确分类为地面点的个数，b为实际地面点被误分类为非地面点的个数，c是实际非地面点被误分类为地面点的个数，d是实际非地面点被正确分类为非地面点的个数。各指标具体计算公式可见表 1。
| 点云总数 | Ⅰ类误差 | Ⅱ类误差 | 总误差 | Po | Pc | Kappa系数 |
| e=a+b+c+d | b/(a+b) | c/(c+d) | (b+c)/e | (a+d)/e | [(a+b)(a+c)+(c+d)(b+d)]/e2 | (Po-Pc)/(1-Pc) |
2.1 定性分析
为了定性评估算法在不同地形条件下的滤波性能，本文选取4个滤波结果(samp11，samp22，samp23，samp51)进行展示，如图 5—图 8所示。所选样本的具体地形特征可见表 2，可以看出滤波后地面与实际地面吻合度较高。从边界信息来看，无论是城区(图 6—图 7)亦或是山区(图 5、图 8)，扩充虚拟种子点保证了边界的准确性和完整性，注意图 7左上角边界处的三角形Ⅰ类误差是由点云本身结构导致，由于本文算法选取最低点作为地面种子点，以此构建不规则三角网，因此会将点云边界处高程较高的断层判定为非地面结构，考虑到分割点云区域时可能会切割到房屋，因此本文认为判定为非地面结构是合理的选择。从Ⅱ类误差来看，算法可以有效滤除低矮植被(samp51)、房屋(samp23)、桥梁(samp22)等地物，并且从图 8可以看出，种子点生长算法能在有效生长地形的同时抑制斜坡植被点的生长。从Ⅰ类误差来看，图中并无因极低异常值造成的地面空洞，可验证半径滤波器的有效性，另外城区路面保留齐全，山地陡坡和断层边缘也相对完整。主要误差分布于断裂线附近(图 5与图 7矩形框处)，在部分细微地形处也存在小范围Ⅰ类误差，其原因在于本文采取平面拟合的前提假设为点云有足够高的分辨率，而所有的测试集点云分辨率均大于1 m，在部分测试集中甚至达到了2~3 m，点云分辨率不足对于复杂地形的表达是十分不利的，因此当分辨率不足且存在非地面点干扰时，容易使得拟合所需邻近地面点的数目达不到要求，从而导致区域生长停滞不前，造成部分地形缺失。
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| 图 5 samp11滤波结果 Fig. 5 Filter result of samp11 |
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| 图 6 samp22滤波结果 Fig. 6 Filter result of samp22 |
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| 图 7 samp23滤波结果 Fig. 7 Filter result of samp23 |
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| 图 8 samp51滤波结果 Fig. 8 Filter result of samp51 |
| 样本集 | 地形特征 | 格网间距/m | 角度阈值 | 距离阈值/m | Ⅰ类误差/(%) | Ⅱ类误差/(%) | 总误差/(%) | Kappa/(%) |
| samp11 | 陡坡上的植被和建筑物 | 40 | 0.3 | 1 | 10.89 | 4.69 | 8.25 | 83.36 |
| samp12 | 小型物体(车辆) | 20 | 0.3 | 1.4 | 2.69 | 2.80 | 2.75 | 94.51 |
| samp21 | 狭窄的桥梁 | 20 | 0.25 | 1 | 0.40 | 3.41 | 1.06 | 96.89 |
| samp22 | 大桥(西南)/舷梯(东北) | 40 | 0.4 | 1.4 | 2.21 | 6.02 | 3.40 | 92.06 |
| samp23 | 复杂大型建筑，不连续地形 | 20 | 0.3 | 1.4 | 4.10 | 4.65 | 4.36 | 91.26 |
| samp24 | 坡道 | 25 | 0.25 | 1.4 | 1.82 | 8.41 | 3.63 | 90.82 |
| samp31 | 不连续地形, 极低异常值 | 30 | 0.1 | 1 | 0.69 | 1.16 | 0.90 | 98.19 |
| samp41 | 低点簇(多路径误差) | 30 | 0.3 | 1.4 | 4.07 | 2.84 | 3.46 | 93.11 |
| samp42 | 高低起伏的地物 | 35 | 0.3 | 1.4 | 0.77 | 0.64 | 0.68 | 98.38 |
| samp51 | 斜坡上低矮植被 | 30 | 0.15 | 1 | 1.04 | 4.44 | 1.78 | 94.78 |
| samp52 | 低矮植被、山脊断层 | 20 | 0.6 | 1.4 | 1.57 | 17.95 | 3.29 | 82.15 |
| samp53 | 断层 | 5 | 0.6 | 1.4 | 1.45 | 34.56 | 2.79 | 64.00 |
| samp54 | 低分辨率建筑 | 15 | 0.2 | 1.4 | 2.33 | 2.81 | 2.59 | 94.82 |
| samp61 | 陡峭山脊、沟渠 | 8 | 0.4 | 1.4 | 0.54 | 8.46 | 0.82 | 88.14 |
| samp71 | 大桥 | 40 | 0.3 | 1.4 | 1.04 | 8.25 | 1.85 | 90.78 |
| 平均值 | 2.40 | 3.67 | 2.84 | 93.74 |
2.2 定量分析
表 2显示了15个测区的地形特征和参数设置情况，同时列出了本文算法获得的各项误差指数以及Kappa系数。另外将本文算法与ISPRS测试中的部分经典算法以及近年来学者们提出的算法进行了对比，其中最低的总误差和最高的Kappa系数用红色加粗表示，具体数据如图 9—图 10所示。
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| 图 9 不同算法的参考样本误差对比 Fig. 9 Comparison of total error for each reference sample with different algorithms |
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| 图 10 不同算法的参考样本Kappa系数对比 Fig. 10 Comparison of Kappa coefficient for each reference sample with different algorithms |
从表 2可以看出，在单一样本的试验结果里，本文算法展现出了良好的滤波性能，可以有效地平衡Ⅰ、Ⅱ类误差。从图 9—图 10的数据对比可以看出，本文算法在其中5个样本获得了最好的滤波效果，并获得了所有统计样本下最小的总误差(2.84%)以及最大的Kappa系数(93.74%)。相对于传统PTD算法，本文算法虽然在生长地形时不可避免地增加了部分Ⅱ类误差，却有效降低Ⅰ类误差，使得整体精度获得了较大提升，最终总误差降低幅度41%，Kappa系数提高9.5%。
3 结 语针对传统的PTD滤波过程中过度侵蚀地面、Ⅱ类误差累积的问题，本文采用点云金字塔策略选取和组织地面种子点，在迭代的过程中，采用PTD算法去除非地面点，结合“向上”“向下”的表面拟合区域生长算法补全地形细节，有效地降低了Ⅰ类误差，根据计算拟合平面点的离散程度设置动态高差阈值，可以适应不同地形场景。通过ISPRS给出的15个标准数据集的测试，结果证明本文提出的方法是有效可行的。未来的研究将致力于开发更高效的区域生长算法，针对点云分辨率不足和断裂线部位缺失的问题进行研究，提高算法的性能和稳健性。
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