协调世界时(coordinated universal time，UTC)是一个国际上的时间基准，由国际计量局(Bureau International des Poids et Mesures(in French)，BIPM)计算并每月发布一次[1-2]。守时实验室和全球导航卫星系统(GNSS)都需要建立时间基准。守时实验室的时间基准记为UTC(k)，其中k为实验室代号。例如，中国国家授时中心(NTSC)建立和保持UTC(NTSC)；美国海军天文台(USNO)建立和保持UTC(USNO)。按照国际电信联盟(The International Telecommunication Union，ITU)的要求，[UTC-UTC(k)]的偏差要求保持在100 ns以内[1]。GNSS的时间基准记为GNSST(GNSS time)。例如，美国GPS的时间基准记为GPST(GPS time)；中国北斗卫星导航系统(BeiDou system，BDS)的时间基准记为BDT(BeiDou time)。GNSST一般溯源至某个UTC(k)，[UTC(k)-GNSST]一般保持在几十纳秒甚至更小的量级(本文中不加说明都是指mod 1 s的偏差)[1]。GNSST的性能将直接影响GNSS导航、定位、授时的性能。
传统建立GNSST的方法分两步：第1步，综合钟组内所有的原子钟，建立一个自由纸面时；第2步，将该自由纸面时溯源至某个UTC(k)，即使用该UTC(k)驾驭该自由纸面时，得到GNSST[2-5]。以建立GPST为例[5]，第1步，综合GPS地面和卫星上的原子钟，采用某种时间尺度算法(Kalman滤波器算法)，建立了一个自由纸面时；第2步，采用UTC(USNO)驾驭该自由纸面时，得到GPST，确保[UTC(USNO)-GPST]保持在一定范围内。建立BDT也采用了类似的两个步骤。目前的BDT为纸面时间，它是BDS导航、定位、授时的时间基准；如果是要指明其物理信号，一般的文档中都会强调"BDT的物理信号"。BDT的物理信号是某一台原子钟使用相位微跃计经过(时间、频率等)调整后的信号，即再进行1次驾驭，采用BDT驾驭某一台钟，产生BDT的物理信号，确保BDT的物理信号和BDT保持在一定范围内。
目前，国内外对于建立时间基准的研究，大部分还局限在传统方法的基本框架下，期望通过优化设计时间尺度算法和驾驭算法来提升时间基准的性能(具体算法优化设计参见文献[4—19])，并没有对传统方法本身进行改进。传统方法的固有属性造成方法本身存在不足，主要原因在于单台钟的时差和自由纸面时是相互影响的，以及由此导致的其他不足，这并不是通过优化设计算法就可以得到改善的。
针对这种情况，本文摈弃了传统方法的基本框架，从方法本身进行优化，提出一种方法，即不通过自由纸面时建立时间基准的方法。本文方法的核心思想是对每台钟分别设计预测算法和驾驭算法，这样每台钟都可以独立得到一台受驾驭钟，然后再对这些受驾驭钟进行加权平均。该方法避免了传统方法自身的不足，此外还可以针对每台钟的特性分别优化设计预测算法和驾驭算法。
1 传统方法的基本原理传统方法建立GNSST包括两个步骤，分别对应着1.1节和1.2节所描述的两个核心算法：时间尺度算法和驾驭算法。其中时间尺度算法中又包含了预测算法和权重算法。后续产生GNSST的物理信号时，还需要在此基础上再进行1次驾驭[4-5]，本文中不展开描述。
1.1 建立自由纸面时的时间尺度算法时间尺度算法的目的是综合钟组内的原子钟，建立一个更稳定更可靠的自由纸面时，其形式上包括加权平均算法和一系列的Kalman滤波器算法。任何加权平均形式的时间尺度都可以化简，最终由时间尺度基本方程(basic time scale equations，BTSE)来表达[3-7]。实际上，采用Kalman滤波器形式建立的时间尺度都可以化简并以BTSE来表示。因此，一系列的Kalman滤波器算法，本质上也是加权平均算法。
自由纸面时(temps atomique (in French)，TA)通过BTSE表示为[3-7]
(1)
式中，hi(t)为第i台原子钟的钟面读数，h'i(t)为第i台原子钟的钟面读数的预测值；ωi为第i台原子钟的权重，权重和等于1；N为钟组中原子钟的数量；h'i(t)中确定性项和hi(t)中确定性项的符号相反。式(1)的物理含义是[6]：TA是对各原子钟扣除确定性项后只含有噪声分量的"钟面读数"的加权平均值。
时间尺度算法中的核心算法为权重算法和预测算法，分别用于确定权重和预测值。
预测算法可以参考ALGOS的预测算法选取：①类似于2011年前的ALGOS原始预测算法，采用一次多项式模型[7]；②类似于2011年后的ALGOS新预测算法，采用二次多项式模型预测[10-11]。
权重算法也可以参考ALGOS的权重算法选取：①类似于2014年前的ALGOS原始权重算法[7]，反比于频差方差或Allan方差；②类似于2014年后的ALGOS新权重算法[8]，反比于预测误差的平方。
在获取权重ωi和预测值h'i后，时间尺度算法通过多次迭代，自动计算出每台钟相对TA的时差(详细步骤见文献[7—9])，记为xi(t)
(2)
迭代的含义是指：在每一个间隔[tk, tk+1]内，第1次求解xi时，本间隔的权重ωi和预测值h'i都作为已知量，待求得xi后，根据xi再次计算本间隔的权重ωi和下间隔的预测值h'i。在BIPM的经典加权平均算法(ALGOS算法)中，每个间隔需要迭代计算4次，最终得到本间隔的权重ωi、下一间隔的预测值h'i以及本间隔时差xi。
图 1为时间尺度算法的基本原理。第1台钟为参考，x1i=x1-xi代表第1台与第i台钟的共N-1组时差(无观测噪声)，通过时间尺度算法，迭代计算出N台钟的时差xi=TA-hi。
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| 图 1 时间尺度算法的基本原理 Fig. 1 Basic principle of time scale algorithms |
1.2 驾驭自由纸面时产生时间基准的驾驭算法
驾驭，本质上是负反馈控制。设计驾驭算法，需要综合运用自动控制的相关理论[12-13]。有多种形式的驾驭算法可供灵活选取，包括UTC(USNO)驾驭产生GPST的线性高斯二次型(linear Gaussian quadratic，LGQ)算法[14]、数字锁相环(digital phase-locked loop，DPLL)算法[15-16]等。
图 2描述了采用DPLL算法，用UTC(k)驾驭GNSS的TA，产生时间基准(GNSST)的基本原理。根据[UTC(k)-GNSST]和DPLL的开环传递函数(Z域中以G(z)表示)，计算出对于TA的时间、频率和频漂的调整量，调整TA，产生GNSST[15-16]。
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| 图 2 驾驭的基本原理 Fig. 2 Basic principle of steering |
其原理类似于GNSS接收机通过解算得到GNSST相对于内部晶振的时差，计算出对晶振的时间、频率和频漂的调整量，调整晶振，输出代表GNSST的时间信号[17]。
驾驭算法的核心是设计合理的传递函数。传递函数决定了驾驭性能[15-16]。图 2中的DPLL是数学上的DPLL，不是物理上的DPLL，它的作用是计算出每次的控制量(调整量)，在数学上(纸面上)对GNSST进行调整。这样每次获得[UTC(k)-GNSST]后，DPLL就可以通过传递函数G(z)自动计算出调整量，通过负反馈控制自动生成GNSST。
本文把对TA的累计时差调整量记为Δ，即TA+Δ=GNSST。
综上，结合式(1)，在t时刻的[UTC(k)-GNSST]表示为
(3)
传统方法在迭代计算TA的过程中，每台钟的权重和预测值都是根据式(2)的时差，即TA-hi计算得到的，所以单台钟的时差和TA是相互影响的。这就导致以下问题。
(1) 在某些情况下，例如当钟组规模较小时，并不能保证TA的频率稳定度远高于单台钟，即Allan方差小1个数量级或Allan偏差低至1/3。这时，根据TA-hi计算得到的权重，其中叠加了TA的影响，并不完全反映单台钟的频率稳定度性能或预测性能。如果TA的频率稳定度还没有单台钟高，这时时差TA-hi反映的是TA的而不是单台钟的频率稳定度。同理，根据TA-hi计算得到的预测值，其预测不确定度也大于单台钟相对于理想时间尺度的预测不确定度。
(2) 正是由于预测值都是根据TA-hi计算得到的，所以预测值的实际作用是扣除单台钟相对于TA的(时间、频率等)偏差，而不是其相对于理想时间尺度的偏差。这就导致，预测值的初值对TA的影响巨大。一旦预测值初值相对于外参考UTC(k)出现较大的偏差，TA就会相对于参考UTC(k)出现较大的偏差。
同理，当某一台钟出现频率跳变等异常而没有检测出来，将直接导致TA的频率跳变。例如：假设某一台铯钟发生1×10-13的频率跳变没有被检测出来，其权重为10%，那么将引起TA大约1×10-14的频率改变。
由于后续的预测值同样是根据TA-hi计算得到的，后续时间段内TA改变的频差会一直被保留下来(尽管TA不考虑频率准确度的问题)，这个过程是不可逆的。
(3) 时间尺度算法中对于每台钟的预测值的预测间隔都一致，实际上这并不是一种最优的方法。按照文献[18—19]，对于不同类型的原子钟，如果根据它们的不同噪声特性，分别确定频差的最优观测间隔，可以分别优化预测效果。
(4) 对于分布式守时或星地联合守时，由于部分星载钟不可视、比对链路中断、部分原子钟故障等原因，导致参与TA计算的原子钟数量改变，进而导致TA噪声性能的改变。如图 2所示，由于驾驭算法的结构、带宽、参数等需要根据TA的性能来优化设计，这时根据实际情况来重新设计或者自适应调整驾驭算法并不容易。
针对传统方法的不足，本文提出一种不通过自由纸面时建立时间基准的方法。本文方法的核心是对每台钟分别优化设计预测算法和驾驭算法，这样每台钟都可以独立得到一台受驾驭钟，然后再对这些受驾驭钟进行加权平均。通过该方法，避免了计算权重和预测值时由于单台钟和TA相互影响导致的算法固有不足，还可以针对每台钟的特性分别优化设计预测算法和驾驭算法。图 3为本文方法的原理。
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| 图 3 本文方法的基本原理 Fig. 3 Basic principle of the new method |
方法具体步骤如下。
(1) 综合[UTC(k)-GNSST]和[GNSST-hi]，换算得到时差[UTC(k)-hi]，记为xi。后续所有权重和预测值都是由时差xi计算得到。
(2) 根据文献[18—19]提出的钟差预测算法和思路，针对不同类型的原子钟，在每个间隔，分别选取频差的最优观测间隔进行预测，得到预测值h'i。为了保证相邻间隔点处[hi(t)+h'i(t)]在时间上是连续的，需要在h'i(t)相邻间隔点加入时间修正量。根据预测值进行调整，即对每台钟hi扣除预测值h'i，得到与UTC(k)同步的时间尺度[hi+h'i]。
(3) 针对每组[hi+h'i]的特点，分别设计驾驭算法，得到与UTC(k)同步且偏差保持在一定范围内的时间尺度，记为h_si，其中s代表steered(受驾驭)。本文把对于每台钟的累计时差调整量记为Δi，即hi+h'i+Δi=h_si。
(4) 权重可以根据实际需求来灵活选取。考虑到GNSS对自主导航时的时间自主保持能力要求较高，本文中的权重算法采用类似于BIPM在2014年后的ALGOS新权重算法，以优化时间同步精度为目的。对所有h_si加权平均后得到GNSST。为了避免由于钟组中钟数量、各台钟的权重等发生变化而引起GNSST在时间上的不连续，和步骤(2)类似，同样需要在相邻间隔点处引入时间修正量。
根据上述描述，在t时刻的[UTC(k)-GNSST]表示为
(4)
图 3中，[hi+h'i]和h_si都是和UTC(k)保持时间和频率同步的时间尺度。结合图 5—图 8，可以看出[hi+h'i]和h_si的区别。
2.2 理论分析(1) 本文方法和传统方法的核心算法都是预测算法、驾驭算法和权重算法，但是顺序不同。传统方法中，预测算法和权重算法是并行运行的，都包含在时间尺度算法中；时间尺度算法通过多次迭代计算后，同时得到权重、预测值、时差xi=TAhi；然后再使用驾驭算法，用UTC(k)驾驭TA得到GNSST。由图 3可知，本文方法中，预测算法、驾驭算法和权重算法是依次顺序进行的，预测值、驾驭量和权重都是依次计算得到的。
(2) 根据上文由传统方法和本文方法得到的[UTC(k)-GNSST]分别表示为
传统方法中，时差定义为xi=TA-hi，权重ωi和预测值h'i(t)都是根据时差xi=TA-hi计算得到的。本文方法中，时差定义为xi=UTC(k)-hi，权重ωi和预测值h'i(t)都是根据时差xi=UTC(k)-hi计算得到的。因此，尽管权重和预测值都用相同的符号来表示，但它们的物理含义是不同的。
传统方法中，计算TA时，观测量为N-1组时差x1i，由于少了1组观测量，算法必须通过多次迭代，才能计算出N组时差xi=TA-hi，并同时计算权重和预测值；外参考UTC(k)没有参与TA的计算，所以TA是"自由"的，与UTC(k)无关。在本文方法中，观测量为N组时差xi=UTC(k)-hi，该方法不需要做任何处理就已经获取了N组时差；N台钟的权重ωi和预测值h'i都是根据N组时差UTC(k)-hi计算得到的，因此无论[hi+h'i]还是h_si都不是自由的，它们一定是和UTC(k)同步的；该方法中没有建立"自由"的纸面时。
(3) 传统方法中，某两台钟的时差xi会通过TA发生联系。尽管图 3没有描述，但建立时间基准时一般都会并行运行异常检测算法，可以采用经典的假设检验方法(设定虚警概率，检测概率和频率跳变幅度正相关，幅度较小时频率跳变会淹没在噪声中，所以漏检概率较大)等[20]。例如，假如某台铯钟权重为10%，发生1×10-13的频率跳变而没有被检测出来，这时会引起TA约1×10-14的频率改变；由于TA的频率改变，所有钟的时差xi=TA-hi都会发生频率改变，进而导致预测值中预测频率的改变；对于铯钟(Allan偏差最小值在10-15~10-14量级)频率改变可能淹没在噪声中，氢钟(Allan偏差最小值在10-16~10-15量级)却可以明显感觉到1×10-14量级的频率改变，但这时氢钟时差xi=TA-hi的频率改变是TA引起的，而不是氢钟本身(hi)引起的。这是自由纸面时的固有属性造成的不足，增加了算法设计难度。在本文方法中，每台钟的[hi+h'i]和h_si都不会和其他钟发生联系，后续的预测值、驾驭量、权重也都是针对每台钟的时差UTC(k)-hi单独计算得到的，所以不存在这样的问题。
(4) 本文方法的其他优势包括：①通常, 外参考UTC(k)的频率稳定度和可靠性比TA更高，所以相比传统方法，本文方法的权重和预测值更能反映单台钟的性能。②本文方法还可以针对每台钟的特性，建立[hi+h'i]和h_si时，分别优化设计预测算法和驾驭算法。
(5) 假如在图 3中，本文方法的驾驭算法和权重算法更换前后顺序，即按照预测算法、权重算法、驾驭算法的顺序建立时间基准，依然是可行的。这时本文方法和传统方法在形式上比较接近；即前两个步骤，通过预测算法和权重算法，建立一个非自由的时间尺度，然后再使用驾驭算法，通过UTC(k)驾驭该非自由的时间尺度得到GNSST。这时本文方法依然可以避免传统方法的前两个不足。但是，这时本文方法不能像图 3那样，充分发挥针对每台钟分别优化设计驾驭算法的优势。这也就是本节两个表达式最后1项的区别。
2.3 不同原子钟性能
(5)
式中，i代表第i台钟；xi, 0、yi, 0和di分别代表时差、频差和频漂的初值；Wi, 1(t)和Wi, 2(t)分别代表两个独立的维纳过程，它们都服从N(0, t)，σi, 1和σi, 2分别是这两个维纳过程的扩散系数。
后两项为噪声项，分别代表了频率白噪声(WFM)和频率随机游走噪声(RWFM)。原子钟噪声是有色噪声[24]，一般通过Allan方差[22-23]来表征其频率稳定度
(6)
式中，σi, y2为Allan方差，τ为平滑时间。
通过实测钟差、BIPM和国际GNSS监测评估系统(International GNSS Monitoring & Assessment System, iGMAS)的服务器公开下载的地面钟或星载钟钟差，分析各原子钟的性能。表 1列出了俄罗斯VCH-1003M氢钟、美国MHM2010氢钟、国产SOHM-4氢钟、铯钟、星载氢钟、星载铷钟的平方扩散系数和频漂幅度的估计值。图 4画出了这些原子钟(氢钟和铷钟已扣除频漂)的Allan偏差(Allan方差的平方根)曲线。由文献[25—26]可知，不同GNSS星载钟的性能差异较大，包括BDS-2、BDS-3各星载钟的性能差异也较大。表 1中，地面钟为典型值，星载钟为其中某1台的估计值。
| 类型 | σi, 12 | σi, 22 | di |
| VCH-1003M | 1.4×10-26 s | 1.0×10-37 s-1 | - |
| MHM2010 | 1.7×10-26 s | 1.0×10-36 s-1 | 1.1×10-20 s/s2 |
| SOHM-4 | 3.0×10-26 s | 1.2×10-33 s-1 | 4.0×10-20 s/s2 |
| Cs | 4.8×10-23 s | 1.9×10-36 s-1 | - |
| H(onboard) | 4.0×10-24 s | 4.0×10-34 s-1 | 1.0×10-19 s/s2 |
| Rb(onboard) | 1.1×10-23 s | 1.1×10-33 s-1 | 1.0×10-18 s/s2 |
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| 图 4 不同原子钟的Allan偏差曲线 Fig. 4 Allan deviation curves of different clocks |
(7)
图 5为按照表 1的参数和文献[27]的方法仿真生成的100台铯钟的时差(确定性部分为零，只含噪声，图中绿色曲线)，以及由式(7)的1倍和2倍平方根计算得到的1σ和2σ噪声标准差(黑色加粗曲线)。图 5展示了作为有色噪声的WFM和RWFM的标准差随时间的变大而变大。式(7)和图 5说明：原子钟的长期稳定度(去除频漂后)越好，其时间长期自主保持能力就越好。对于表 1所列原子钟，显然VCH-1003M氢钟的时间长期自主保持能力最优。
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| 图 5 100台仿真铯钟的时差、1σ和2σ噪声标准差的理论值 Fig. 5 Time differences of 100 cesium clocks, 1σ and 2σ theoretical noise standard deviations |
2.4 预测算法
假如采用一次多项式模型预测，预测误差通过[真实值-预测值]表示为
(8)
式中，εi(tp)为预测误差；t0为预测起始时刻；
假如预测模型符合原子钟模型，预测是无偏的，预测误差服从以下分布
(9)
式中，ui(tp)为预测不确定度；ui2(tp)为预测不确定度的平方。
当观测间隔Ti, 1较长时，测量噪声的影响可以近似忽略。这时有[18-19]
(10)
式中，Ti, 1为频差的观测间隔。
表 2列出了根据表 1的参数计算得到的各原子钟的频差最优观测间隔。
| 类型 | 最优观测间隔/d |
| VCH-1003M | 7.50 |
| MHM2010 | 2.61 |
| SOHM-4 | 0.10 |
| Cs | 100.76 |
| H(onboard) | 2.0 |
| Rb(onboard) | 2.0 |
根据式(10)，对于任意tp值，等号右边第2项的值不变；当选择Ti, 1值使Allan方差取最小值时，第1项达到最小值，于是ui2(tp)达到最小值，即获得了最优的预测性能。由式(10)，使ui2(tp)取最小值的频差最优观测间隔[18-19]为
根据表 1和表 2，不同原子钟的噪声特性不同，最优观测间隔也相差很大。本文方法中针对不同原子钟分别优化选取观测间隔，目标是提升预测性能。
对于存在明显频漂的原子钟，需要采用二次多项式模型，才能保证预测是无偏的。文献[19]推导证明
(11)
式中，
式(11)表明：T2越大，频漂的估计不确定度越小。BIPM的ALGOS新预测算法中，对于T2曾经尝试过取3个月、4个月和6个月等[11]。
按照表 1参数仿真生成1台VCH-1003M氢钟作为UTC(k)，仿真生成50台铯钟，每隔1 d预测1次，即tp最大值为1 d，选取T1=100 d，共预测6 d。图 6画出了这50台铯钟的预测误差曲线。图 7画出了这50台铯钟经过调整后的[UTC(k)-hi-h'i]曲线，调整的目的是保证[UTC(k)-hi-h'i]在相邻间隔点的时间连续性，相当于对在相邻间隔不连续的预测误差进行了拼接。
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| 图 6 50台铯钟的预测误差曲线 Fig. 6 Prediction error curves of 50 cesium clocks |
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| 图 7 50台仿真铯钟[UTC(k)-hi-h'i]的曲线 Fig. 7 [UTC(k)-hi-h'i]curves of 50 cesium clocks |
图 6和图 7的曲线都扣除了预测值且和UTC(k)保持时间和频率同步，但主要受原子钟噪声的影响(参考图 5)，它们与UTC(k)的偏差随着时间变大而变大。
2.5 驾驭算法驾驭算法的目的是通过负反馈控制，将负反馈的输出信号GNSST和输入信号UTC(k)的时间、频率、频漂尽量调整到一致。本文采用文献[16]描述的等价于Kalman滤波器加延迟器的三阶3类DPLL算法。这时，图 2中的开环传递函数为
(12)
式中，T为每次驾驭的时间间隔；(Ksi, 1, Ksi, 2, Ksi, 3)为DPLL的增益。在该算法中，DPLL的增益等价于稳态Kalman增益，参数(Ksi, 1, Ksi, 2, Ksi, 3)的值由Kalman滤波器的R值决定。文献[16]详细描述了针对不同噪声特性的原子钟，合理选取参数的方法。
选取R=3×1022，在T=1 d情况下计算得到(Ksi, 1, Ksi, 2, Ksi, 3)=(0.504, 2.025 4×10-6, 4.066 1×10-12)，对上述50台经预测和调整后的铯钟[hi+h'i]进行驾驭。图 8画出了这50台铯钟的[UTC(k)-h_si]曲线。从图 8看出，h_si不仅与UTC(k)保持时间和频率同步，还与UTC(k)的时间偏差保持在一定范围内。
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| 图 8 50台仿真铯钟的[UTC(k)-h_si]曲线 Fig. 8 [UTC(k)-h_si]curves of 50 cesium clock |
2.6 权重选取
当预测误差服从式(9)时，预测误差的平方服从χ2分布[20]，其数学期望和方差分别为ui2(tp)和2ui2(tp)。由于预测误差的数学期望为零，所以权重按照预测误差来选取很容易造成权重值的剧烈波动，按照预测误差的平方来选取更具有优势。
对M个时差预测误差的平方进行滤波，参考ALGOS新权重算法[8]，滤波结果设置为(k≥M时)
(13)
式中，i、k表示第i台钟第k个间隔。
式(13)滤波器的作用：①相比单次平方预测误差，减小了波动程度。这时σi, k2的方差将明显小于2ui2(tp)。M越大，效果越显著。②确保越近时间的预测误差的平方的影响更大。
最终，第i台钟第k个间隔的权重为
(14)
该权重算法直接优化了[UTC(k)-GNSST]的时间同步精度。由于预测不确定度和Allan方差之间存在函数关系，因此算法也间接优化了GNSST的频率稳定度。
3 试验分析3.1传统方法TA性能分析实测数据试验
本试验展示某台铯钟频率异常对于TA的影响。采用5台钟的实测数据，包括3台VCH-1003M氢钟、两台铯钟，把1台和UTC保持同步的VCH-1003M氢钟当作外参考UTC(k)，而另外4台钟组成钟组用于建立TA。图 9画出了[UTC(k)-hi]的一次多项式残差，其中H1和H2分别为2台VCH-1003M氢钟，Cs1和Cs2为两台铯钟。数据长度共35 d，时差采样间隔为60 s。
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| 图 9 [UTC(k)-hi]的残差 Fig. 9 Residuals of [UTC(k)-hi] |
积累20 d数据。从第21 d 0点开始，采用上文描述的传统方法中的时间尺度算法，选取每个间隔为6 h，即每隔6 h计算一次TA。TA长度共14 d，共56个间隔。在进行TA计算之前，先按照文献[28]的Kalman滤波器方法滤除[UTC(k)-hi]的测量噪声。权重按照式(13)和式(14)选取，M=12。限制每台钟的最大权重为1.6/N(N=4为钟组内钟的数量)，这样两台氢钟最高只能获得80%的总权重。所有预测值采用二次多项式模型计算，且频差预测值的观测间隔等于GNSST的计算间隔，即6 h。
共进行两次试验。第1次为不存在异常的情况。第2次试验时人为在第25天0点(TA的第5天0点)给Cs2加入1.5×10-13的频率跳变。
图 10(a)为两次试验的[UTC(k)-TA]时差曲线。由[UTC(k)-TA]的时差差分可以得到的每个间隔的频差。图 10(b)为两次试验的[UTC(k)-TA]的频差之差。图 11为两次试验中Cs2的权重变化。实际上两台氢钟一直都取满权，共获得80%的总权重；两台铯钟分配了剩下的20%的权重。因此，用20%减去Cs2的权重即可得到Cs1的权重。
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| 图 10 [UTC(k)-TA]时差和频差之差的两次试验结果 Fig. 10 Two time differences and the difference of two frequency differences of [UTC(k)-TA] |
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| 图 11 两次试验中Cs2的权重 Fig. 11 Two experiment results of Cs2 weights |
由图 11可知，在TA的第5天0点(第17间隔的起始时刻)发生频率跳变后，根据式(13)和式(14)，由于Cs2的预测误差变大，Cs2的权重立即由第16间隔的15.45%下降至第17间隔的9.51%。尽管如此，该跳变还是对TA频率产生了较大影响。按照"Cs2跳变幅度×Cs2权重"估算TA频率改变的幅度，近似为1.5×10-13×9.51%=1.43×10-14。由图 10(b)可知，Cs2发生跳变后，后续时间段TA相比无频率跳变时TA的频率改变在1.4~1.6×10-14。由图 10(a)可知，TA频率改变后在时差上的积累效果。
综上，本次试验展示了传统算法的不足。单台钟的频率改变会造成TA的频率改变；由于预测值是根据xi=TA-hi计算得到的，后续所有时间段，TA以及其他钟时差xi=TA-hi的频率都发生了改变，该频率改变会一直被保留下来，这个过程是不可逆的。除此之外，假如本次试验中，某1台氢钟因故障下线，钟组中少了1台氢钟，两台铯钟的权重会显著上升，将造成TA的频率稳定度特性的明显改变，可以预见这对于后续驾驭算法的设计是很不利的。
3.2 本文方法与传统方法对比分析仿真数据试验采用仿真数据，对比分析本文方法和传统方法建立的GNSST的性能。按照表 1的参数，仿真生成1台和UTC保持同步的VCH-1003M氢钟作为外参考UTC(k)；仿真生成两台VCH-1003M氢钟、两台MHM2010氢钟、两台SOHM-4氢钟、两台铯钟、两台星载氢钟、两台星载铷钟共计12台钟组成钟组，用于建立GNSST。设置观测噪声为零。所有钟采用二次多项式模型进行预测。限制单台钟最高权重为1.6/N。取M=12。每个间隔tp=1 d，即每隔1 d预测和驾驭1次，共1080个间隔(3 a)。共进行3次试验，分别建立时间基准(GNSST)。
第1次采用传统方法。所有预测值采用二次多项式模型计算，且频差预测值的观测间隔选取为GNSST的计算间隔(1 d)。驾驭算法的DPLL增益参数值选取为(Ksi, 1, Ksi, 2, Ksi, 3)=(0.504, 2.025 4×10-6, 4.066 1×10-12)。权重按照式(13)和式(14)选取。
第2次采用本文方法。预测算法、驾驭算法、权重算法和第1次试验完全相同，即频差预测值的观测间隔选取为1 d，所有钟的DPLL的增益参数值都选取为(Ksi, 1, Ksi, 2, Ksi, 3)=(0.504, 2.025 4× 10-6, 4.066 1×10-12)。权重算法不变。
第3次采用本文方法，并采用优化的预测算法。参照表 2，它们的频差观测间隔分别选为7.5 d、2.5 d、0.1 d、20 d(对于铯钟预测时间为1 d的情况，20 d已经足够长)、2 d和2 d。所有钟的驾驭算法和参数、权重算法都不变。
图 12(a)为3次[UTC(k)-GNSST]的时差，图 12(b)为3次GNSST的Allan偏差。分析试验结果如下：
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| 图 12 3次试验的[UTC(k)-GNSST]的时差和GNSST的Allan偏差 Fig. 12 Time differences of [UTC(k)-GNSST] and Allan deviations of GNSST of three experiments |
(1) 在传统方法中，4台进口氢钟一直取满权；两台国产氢钟大约半数的间隔取满权；铯钟和星载铷钟的权重相对较小。在本文方法中，4台进口氢钟一直取满权；两台国产氢钟几乎一直取满权。可见本文方法有效发挥了国产氢钟tp=1 d时的预测性能的优势。
(2) 图 12(a)表明，在采用相同的预测算法、驾驭算法、权重算法以及相同的参数时，本文方法(第2次试验，红色曲线)的[UTC(k)-GNSST]的时间同步精度为0.136 ns，最大偏差的绝对值＜0.6 ns，明显优于传统方法(时间同步精度为0.730 ns，最大偏差的绝对值＜2.1 ns)；当本文方法优化频差预测值的观测间隔后(第3次试验，绿色曲线)，[UTC(k)-GNSST]的时间同步精度为0.133 ns，最大偏差的绝对值＜0.5 ns，相比第2次试验有优化，但效果不显著。
(3) 假如参考时间尺度的频率准确度比被评价时间尺度的频率准确度高1个数量级，频率准确度可以采用它们的相对频率偏差的绝对值的最大值来描述。从直观上理解，[UTC(k)-GNSST]的时间同步精度越高，说明GNSST与UTC(k)越接近，相对频率偏差越小。本次仿真试验中，采用长度为7 d的滑动窗，计算1080 d中，[理想时间尺度-UTC(k)]、第1次试验、第2次试验、第3次试验[UTC(k)-GNSST]的相对频率偏差的绝对值的最大值，分别为1.28×10-15、4.04×10-16、1.20×10-16、1.08×10-16。这说明，[理想时间尺度-UTC(k)]的频率准确度在10-15量级，[UTC(k)-GNSST]的相对频率偏差保持在10-16量级，所以GNSST的频率准确度和UTC(k)在一个数量级(10-15)，相比于UTC(k)仅略有恶化。
(4) 图 12(b)表明，本文方法建立的GNSST的Allan偏差在平滑时间>2×105 s时优于传统方法，在平滑时间＜2×105 s时略差于传统方法(例如平滑时间=2×104 s时，传统方法约为1.5×10-15，本文方法约为2.0×10-15)。后续需要在本文的基础上，进一步分别针对每台原子钟优化设计驾驭算法，提升GNSST的频率稳定度。
综上，仿真试验的结果与理论预期相符。在相同的算法和参数情况下，本文方法的[UTC(k)-GNSST]时间同步精度明显优于传统方法；优化预测算法后，提升了时间同步精度，但效果不显著；采用本文方法时，GNSST的频率稳定度在平滑时间>2×105 s时优于传统方法。
3.3 试验结果分析与讨论 3.3.1 时间同步精度在采用完全相同的预测算法、驾驭算法、权重算法及相同参数的情况下，本文方法建立的GNSST(图 12红色曲线)的[UTC(k)-GNSST]时间同步精度明显优于传统方法(图 12黑色曲线)，主要原因在于：外参考UTC(k)为1台与UTC同步的VCH-1003M氢钟，由图 4可知其频率稳定度比其他钟更高。传统方法中，由于限制了每台钟的最大权重，两台VCH-1003M氢钟只占了约30%的权重，因此外参考UTC(k)的频率稳定度比TA也更高。所以，本文方法中预测算法根据xi=UTC(k)-hi的预测不确定度比根据xi=TA-hi的结果更小。
由此推测出：本文方法应用于建立BDS星间时间基准，预期可以获取较优的时间同步精度。主要原因为，UTC(k)的频率稳定度优于BDS星载钟以及由BDS星载钟建立的TA，本文方法中预测算法根据xi=UTC(k)-hi的预测不确定度将明显优于传统方法根据xi=TA-hi的结果。
3.3.2 频率准确度从频率准确度的定义可知，随着[UTC-UTC(k)]和[UTC(k)-GNSST]时间同步精度的提高，GNSST的频率准确度也将得到提高。本次仿真试验仿真生成了单台钟，获取单台钟与理想时间尺度的偏差。但这在实际上是无法实现的。实际上能够得到的仅是两个时间尺度之间的偏差。GNSST频率准确度可以根据[UTC-UTC(k)]和[UTC(k)-GNSST]换算得到的[UTC-GNSST]，先计算其相对频率偏差，再结合UTC的频率准确度来综合评价。BIPM建立UTC时采用了数十台秒长基准(喷泉钟)驾驭国际自由原子时(EAL)，因此UTC的频率准确度(相对于理想时间尺度)是这些秒长基准的自评定的频率不确定度的加权平均值，目前为10-16量级。本次仿真试验表明，[UTC(k)-GNSST]的相对频率偏差可以做到10-16量级。假如[UTC-UTC(k)]的相对频率偏差保持10-15量级，最终可以确保GNSST的频率准确度在10-15量级。
3.3.3 频率稳定度由上可知，权重直接优化了预测性能，同时间接优化了频率稳定度。在本文方法中，长期频率稳定度更优的钟预测性能更好，相比传统方法获得了更高的权重。所以，本文方法的长期频率稳定度更优。
图 12(b)的3条Allan偏差曲线在平滑时间1×105 s左右有凸起现象，与驾驭算法的设计有关。当DPLL的带宽设计得较窄时，时间同步精度会提高，但中短期频率稳定度会有一定的恶化[18-19]。因此，未来需要针对每台钟的特性，综合考虑时间同步精度和频率稳定度的性能，进一步优化设计驾驭算法。
4 结束语本文提出了一种不通过自由纸面时建立时间基准的方法。完整展示了该方法的核心思想、步骤，理论优势，以及预测算法、驾驭算法和权重算法的设计原理。试验结果初步验证了本方法的优异性能。本方法避免了自由纸面时计算过程中因单台钟和TA相互影响而造成的不足，还可以针对每台钟分别优化设计预测算法和驾驭算法，相比传统方法具有优势。
本方法不仅可以用于建立GNSST，还可以用于建立UTC(k)。以中国国家授时中心(NTSC)为例。传统方法[29-30]为：采用类似于ALGOS算法的时间尺度算法，建立两个自由纸面时，分别记为TA(NTSC)和TA'(NTSC)；然后根据[UTC/UTCr-TA'(NTSC)]驾驭TA'(NTSC)，得到RTA(NTSC)，RTA(NTSC)是一个实时的受驾驭的纸面时间；然后，再根据[RTA(NTSC)-MC]和[UTC-MC](MC代表主钟信号)驾驭MC生成UTC(NTSC)。由于UTC(NTSC)定义为1PPS物理信号而不是纸面时，所以这里使用了两次驾驭[17]。如本文所述，假如UTC(NTSC)定义为纸面时，只需要1次驾驭即可。本文方法同样可以应用于建立UTC(NTSC)。不同于传统方法建立TA'(NTSC)时权重和预测值都相对于xi=TA'(NTSC)-hi计算得到，在本文方法中，权重和预测值都将根据xi=UTC/UTCr/喷泉钟/光钟-hi计算得到。因此，本文方法中不建立"自由"的纸面时，不存在因单台钟和TA相互影响而造成的不足。同时，本文方法可以针对每台钟分别优化设计预测算法和驾驭算法。
后续将在本文的基础上，结合BDS地面钟、星载钟配置，进一步优化本文方法的算法设计，并分析BDT的频率稳定度、频率准确度、时间同步精度、时间自主保持能力等性能。
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