合成孔径雷达(synthetic aperture radar, SAR)，是一种以微波作为工作波段的遥感成像系统^[1]，具有主动对地观测、全天候、全天时、高空间分辨率特性的优势^[2]。至今为止，SAR相关技术已获得了飞跃性的发展^[3]，在军事侦察、地质勘测^[4]、海洋监测、灾情调查^[5]、农业估产、森林防火^[6]等领域发挥着不可替代的作用。SAR定位技术利用SAR图像中像素点坐标和雷达发射/接收平台的位置、速度等信息，依据建立的相关定位模型及解算方法来获取地面目标点位置坐标^[7]。SAR影像中地物的位置信息是开展地形测绘^[8]、地表活动监测、地质勘探等大规模对地观测技术应用的基础^[9]，因此，对SAR定位技术的研究探索有十分重要的意义及实用价值。

天绘二号(TH-2)卫星是我国第1个星载分布式干涉合成孔径雷达系统，具备全天时全天候获取雷达影像数据、快速测制全球数字表面模型与雷达正射影像等产品的能力^[10]。天绘二号系统的在轨定标能力，使斜距、基线等参数精度具有很高水平，同时搭载高精度GNSS使得卫星定位能力提高，可以提供更加准确的卫星运行轨迹参数^[11]。随着SAR技术迅速发展，对SAR影像定位的需求越来越广泛，精度要求也越来越高^[12]。自天绘二号卫星上天之后，还没有公开研究表明其单幅SAR影像定位能力。一般可以通过预测像点坐标的精度和地面定位精度两个方面进行卫星系统定位能力评估^[13]。本文详细阐述了R-D模型，以及像点坐标预测过程和SAR地面定位过程，对天绘二号卫星SAR影像开展了相关试验，通过定标场内布设的控制点的定位结果，评估与分析天绘二号卫星系统的单SAR定位性能，一方面检校天绘二号系统定位精度，另一方面可以为后续其他应用场景提供定位能力参考。

1 SAR定位原理

SAR作为一种主动式遥感成像雷达，可以获得非常精确的传感器到目标的距离和返回信号的多普勒信息，利用这些信息能够精确地建立卫星和地面坐标之间的联系^[14]。一般SAR影像数据提供了轨道向量、距离参数和多普勒参数信息^[15]，在卫星轨道位置和速度精度较高时，可直接利用距离-多普勒模型进行地理编码^[16]。R-D模型从成像机理出发，有着严密的几何关系和明确的物理意义^[17]，目前已成为多种SAR卫星的标准定位模型，基于此，本文选择R-D模型进行SAR影像定位研究。下面具体介绍R-D模型，以及预测像点坐标和地面定位的求解过程。

1.1 距离-多普勒模型

SAR对地观测示意图如图 1所示。SAR卫星回波得到的斜距图像，与斜距方程的定义一致^[18]，而多普勒频移是星载SAR采用合成孔径进行成像的理论依据，因此距离-多普勒模型在合成孔径雷达对目标成像时满足以下关系^[19]。

1.1.1 地面点坐标到卫星坐标满足距离条件方程^[20]

设地面点P在空间坐标系中坐标为(X，Y，Z)，在SAR影像上像点距离向及方位向坐标为(x，y)；SAR影像距离向采样间隔为m_x，近距边为R₀。地面点到卫星天线相位中心距离R是关于R₀、m_x和x的函数，关系为

式中，P_S(t)为天线相位中心的瞬时位置，一般认为它是关于飞行时间t以及瞬时飞行速度及加速度的函数。

1.1.2 合成孔径雷达系统成像满足多普勒条件方程

在侧视成像中，卫星速度分量与斜距分量的乘积是关于多普勒中心频率的函数，关系为

式中，V_S(t)为卫星天线相位中心的瞬时速度；λ为雷达系统工作波长；f_dm为成像多普勒中心频率。

1.1.3 地面上任一点P满足地球模型方程

式中，a、b分别为参考椭球的长半轴与短半轴；h为地面点P的高程，当无外部信息时认为其位于参考椭球上，h为0，当具备外部参考DEM，h可从DEM获得。以上3个方程组成R-D模型，SAR定位问题也可以看作几何问题，即求解满足斜距的等距球面、等多普勒面、地球模型之间的交点^[21]。

1.2 像点坐标预测过程

合成孔径雷达卫星在方位向上是以脉冲重复频率(PRF)进行采样的，脉冲重复频率定义为

式中，N_l为影像的行数；ΔT为影像最后一行的相位时间减去第1行的相位时间。对于某方位向坐标为y(y≥1)的像元，其方位向坐标可由成像起始时刻以及脉冲重复频率计算，具体对应关系为

式中，t_y表示第y行成像时间；t₁表示第1行成像时间。t₁、N_l、PRF一般在影像参数文件中提供。若知道某行的方位时间，可以推算出像点所在的方位向坐标。

像元在影像中的距离向位置可由R₀、R和m_x得到。对于某距离向坐标为x(x≥1)的像元，其具体对应关系为

式中，R₀、m_x可由影像参数文件得到。

结合R-D模型及式(4)、式(5)可知，由地面点坐标确定像点坐标的关键在于求解其对应的成像时刻。求得成像时刻后，即可代入式(4)中得到该像元的方位向坐标，同时根据卫星在成像时刻的空间位置可得到对应的R，代入式(5)可求得该像元的距离向坐标。

为了求解成像时刻，依据多普勒方程，将式(2)展开可得

式(6)是关于成像时间t的非线性方程。求解式(6)可以通过卫星平台记录的状态参数拟合出精细轨迹并不断插值来寻求满足上式的时刻t，过程简单容易实现但计算量大，不适用于数据体积日益增大的SAR影像。为快速且准确求解可以采取迭代计算的方法，将其进行泰勒函数展开，略去二次项及更高项，得到线性化方程

式中，A_Xt、A_Yt、A_Zt为卫星在t时刻的加速度在X、Y、Z轴方向的分量。一般可取影像参数文件记录的影像成像中间时刻作为求解式(7)迭代的初始值，当Δt极小时终止迭代，得到满足多普勒条件的成像时刻t。此时卫星成像空间位置P_S(t)同时得到解算，即可得到地面点成像时刻对应的R，代入式(4)、式(5)可得到预测的像点坐标(x, y)。

1.3 SAR地面定位过程

1.2节介绍了地面点到像点的映射关系，重点是通过求解成像时刻来确定像点坐标。反之，依据像点坐标也可以得到成像时刻，再通过SAR卫星飞行参数、成像时刻、地形参数求解R-D模型求解该像点对应的地理位置，这样就达到了依据像点坐标来求解地面坐标的目的，实现SAR影像地面定位^[22]。然而上文介绍的R-D模型中，像点坐标与地面点坐标之间没有直接对应关系，不能得到目标位置的解析解，需要适当的迭代求解方法才能求出该方程组的数值解^[23]。

SAR直接地面定位求解过程描述如下：

(1) 确定模型参数。包括像点坐标(x, y)、近距边R₀、距离向采样间隔m_x，成像初始时刻t₁，多普勒频移参数f_dm，SAR影像参数文件记录的卫星运动矢量。

(2) 根据式(4)得到成像时刻t，通过拉格朗日插值方法拟合出卫星运动轨迹，得到SAR卫星成像时刻位置P_S(t)、速度V_S(t)以及斜距R。

(3) 设置高程初始值h。一般选择影像覆盖范围的平均高程作为地面点高程初值，综合所有的已知量，代入R-D模型式(1)、式(2)、式(3)进行求解，得到初始地面点坐标(X，Y，Z)结果。

(4) 计算高程改正量。将得到的坐标结果由空间直角坐标系转换到大地坐标系(L，B，H)，在外部DEM数据中内插得到对应位置的高程，与模型求解出的高程值做差得到改正量。

(5) 判断迭代终止条件。判断内插得到的高程值与高程初值的差值是否小于给定的阈值。若改正量不满足迭代终止条件，则用外部DEM内插得到的高程值替换原高程初值，并重新代入到R-D模型方程组得到新的计算结果，重复步骤(3)和步骤(4)，当前后两次计算的高程改正值很小或迭代次数达到上限时，可以终止迭代^[24]，得到该像点坐标对应的地面点坐标(X，Y，Z)。

SAR直接地面定位过程流程如图 2所示。

2 天绘二号定位结果分析 2.1 天绘二号数据情况及测区概况

天绘二号卫星系统于2019年4月30日成功发射，采用双星编队模式运行，工作频段为X波段。本文通过R-D模型对天绘二号单幅SAR影像进行定位能力评估，选取位于河北、内蒙古、新疆区域的主星影像各1景进行试验，影像范围内包含地面提前布设的角反射器，试验过程包含地面点预测像点和SAR直接地面定位。利用地面控制点预测像点越精准、像点进行地面点定位越精准^[25]，说明天绘二号系统单SAR定位性能越高。文中所用的天绘二号SAR影像相关参数见表 1。

河北、内蒙古、新疆地区影像概况如图 3所示，其中方形框线为影像覆盖范围，蓝色圆点为角反射器^[26]。为了验证试验定位结果精度，获取了3幅影像范围内角反射器的精确地理坐标及其在SAR影像上的量测像点坐标，其中，河北与内蒙古影像范围内布设有10个角反射器，新疆区域影像内涵盖7个角反射器。

2.2 像点坐标预测试验及结果分析

河北、内蒙古、新疆天绘二号SAR影像的参数文件中分别提供了42组、48组、31组卫星传感器位置矢量和速度矢量，时间间隔为1.0 s。通过1.2节介绍的地面点预测像点方法，将地面控制点坐标转换到空间直角坐标系下^[27]，与主星运行状态数据一同作为输入，得到在零多普勒条件下角反射器的预测像点坐标^[28]。试验中设置Δt≤10^－7 s作为迭代终止条件来求解成像时刻，通常迭代3~7次即可达到终止条件，保证了求解速度与精度^[29]。本文统计了像点坐标与预测像点坐标结果误差(单位：像素)的均方根误差(RMSE)，结果见表 2。由表 2可以看出，天绘二号SAR影像预测像点坐标精度较高，平均约1个像素误差，最大不超过2个像素，这说明天绘二号卫星系统提供的卫星轨道位置和速度参数精度高，斜距精度高，影像成像质量佳。

2.3 SAR地面定位试验及结果分析

SAR地面定位过程通过角反射器像点坐标计算其对应的地面位置，通过1.3节介绍的距离-多普勒模型解算出地面定位结果，解算过程中为了剔除高程引起的定位误差而尽可能保留与卫星系统相关的误差，地面点地球模型中的高程值为角反射器安装高程，角反射器安装高程误差为厘米级。通过R-D模型得到角反射器的定位坐标，将定位坐标结果与角反射器安装测量坐标进行对比，统计方位向、距离向的定位误差，计算平面误差以及所有误差项的均方根误差(RMSE)，结果见表 3。天绘二号卫星单幅SAR卫星影像定位精度在河北和内蒙古平面精度1.7 m左右，新疆地区平面精度0.7 m左右。结果表明，预测像点坐标误差与地面定位误差内符合精度一致，预测像点坐标误差与地面定位误差均较小，达到系统设计预期效果。试验可以为检校系统参数提供重要参考，也为后续正射校正等工程应用提供重要精度参考。

3 结语

SAR定位是SAR影像的重要应用之一，本文的SAR影像地面定位方法无须地面控制点，与卫星姿态数据无关，迭代方法求解兼顾效率与精度。分析R-D模型的定位精度主要取决于星历表数据的准确性、地球模型的有效性、多普勒信息的测量特性、斜距精度。本文分析了天绘二号单幅SAR影像预测像点精度和地面定位精度，结果体现出卫星系统的卫星姿态控制、成像几何和斜距定标均达到较高精度，具备单SAR高精度定位能力，为卫星系统检核提供重要参考，为天绘二号卫星数据地面定位等应用提供精度参考。