2. 海图信息中心，天津 300450
2. Chart Information Center, Tianjin 300450, China
作为反映水深变化及利用深度表达海底地形特征的一种三维数字模型，数字水深模型(digital depth model，DDM)在舰船海上航行、海洋科学研究、海洋经济建设和海洋军事活动等多领域发挥着重要作用[1-5]。随着海洋观探测技术的发展，水深数据的采集精度与密度均有较大提升，这为DDM构建及表达提供精度保证的同时，也为其在不同层次、领域的应用带来了尺度变换的需求及数据化简的障碍[6-8]。为解决上述问题，相关学者提出了基于DDM地形复杂度的尺度自适应变换概念[2-3, 7-10]，即在DDM构建及表达过程中，依据DDM地形复杂程度对DDM局部地形的数据化简尺度进行定量调控，以实现给定精度阈值条件下DDM中复杂地形的高保真重构与简单地形的大尺度化简。
作为离散水深数据分析和DDM建模的关联纽带，地形复杂度的概念相对抽象和庞杂。尽管不同学者从各自学科背景给出了纷繁复杂的地形复杂度概念，且从局部地形形态变化程度的视角验证了地形特征与地形复杂度的相关性，但严密统一的地形复杂度定义并未形成[11]。实际应用中，通常需要根据各自研究领域和研究目的特点与差异，从不同侧重角度，以构建地形复杂度指标(terrain complexity index，TCI)计算模型的方式给出地形复杂度的度量方法。在DDM的相关研究领域中，由于其数据组织方式的差异，当前的DDM地形复杂度度量方法多针对数据组织结构相对简单的规则格网DDM(GRID-DDM)[11-14]，直接应用于采样点散乱、无序，数据组织结构相对复杂的不规则三角网DDM(TIN-DDM)的地形复杂度度量方法仍相对较少。目前，在面向TIN-DDM复杂度的研究中，具有代表性的是基于相邻三角面片间空间关系的度量方法。该类方法将TIN-DDM采样点作为研究对象，以基于相邻三角面片空间关系的TCI计算模型为量化手段，定量计算采样点一阶邻域内的地形形态信息，并通过采样点TCI值大小比较的方式，实现整体TIN-DDM地形复杂程度的度量。文献[8, 12, 15]均基于此提出了各自的TIN-DDM采样点TCI计算模型。
虽然上述方法在一定程度实现了TIN-DDM地形复杂程度的有效度量，但是作为TIN-DDM采样点复杂度的量化范围，一阶邻域割裂了非相邻采样点的空间衍生关系，使得在基于相邻三角面片空间关系的地形复杂度度量方法中，无论以何种方式构建TCI计算模型，均难以较好地通过采样点TCI值的比较，反映出其所在不同地形单元间形态变化特征的差异。尤其在TIN-DDM尺度变换的过程中，通过一阶邻域TCI的TIN-DDM地形形态定量调控方式，将难以保证采样点所在地形单元形态的有效性维护，无法较好实现精度阈值条件下TIN-DDM地形的高保真重构与化简。需要指出的是，作为反映DDM地形复杂程度的量化指标，采样点的TCI值与TIN-DDM中地形区域的形态变化程度密切相关。一方面，具有较大的TCI值的采样点一般位于地形形态变化程度相对显著的区域(复杂区域)；另一方面，若要反映同一TIN-DDM中不同区域间的地形形态变化程度的差异，需要通过不同区域内所存在的采样点TCI值进行比较区分。以上两点也是TIN-DDM复杂地形的高保真重构与简单地形的大尺度化简的重要依据。
如图 1所示，A、B、C、…、O为TIN-DDM上的采样点(以黑色圆点表示)，采样点顺次连接形成的实线段表示TIN-DDM的地形纵向剖面。其中，C、K所在的相邻地形形态完全相同(以红色实线段表示)；F、M所在的相邻地形形态完全相同(以色绿实线段表示)。由于C、F所在的①区域(红色矩形所围部分)的复杂程度明显强于K、M所在的②区域(绿色矩形所围部分)，故采样点C、F所求得的TCI值理论上应明显大于采样点K、M。
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| 图 1 相邻三角面片间空间关系度量方法的局限性分析 Fig. 1 Analysis of limitations of spatial relationship measurement method between adjacent trian-gular facets |
但由于C和K、F和M相邻采样点的空间关系一致且形态相同，根据文献[8, 12, 15]所提的采样点TCI计算模型，C和K、F和M之间的TCI值完全相同，这明显与“采样点C、F的TCI值大于采样点K、M”的基本假设不符。
为解决以上问题，本文摒弃了在传统TIN-DDM地形复杂度度量过程中需要先划分地形区域再进行TCI计算模型构建的传统思维模式，直接利用TIN-DDM在滚动球变换过程中整体地形形态改变所带来的采样点深度变化，定量描述采样点所在区域的地形形态变化特征，并依此提出了一种充分顾及形态差异的TIN-DDM地形复杂度度量方法。首先，本文方法在分析滚动球变换概念的基础上，以滚动球变换过程中TIN-DDM采样点空间衍生关系的变化为纽带，论证了采样点深度变化与其TCI的关联性，提出了采样点TCI的表示方法；然后，通过与滚动球半径的关联性分析，阐明了最佳滚动球半径的选取原则，并通过临界滚动球半径的相关性质，明确了在采样点TCI计算过程中最佳滚动球半径的求解方法；最后，对本文所提采样点TCI计算模型的局限性进行了优化，并通过采样点TCI的计算与复杂场的构建，实现了TIN-DDM地形复杂度的有效度量。
1 TIN-DDM采样点TCI计算模型 1.1 基本原理为便于TIN-DDM采样点TCI计算模型的叙述，首先引入滚动球变换的概念。参照文献[10]，滚动球变换是将滚动圆变换进行三维扩展, 对具有单值曲面特性的DDM构建其三维缓冲面。在物理描述中(图 2)，可定义为三维空间的一个无限光滑球体(半径为r)沿DDM(以实线表示)一侧滚动并生成轨迹曲面的一种几何变换，其球心轨迹所形成的表面(以虚线表示)即为至DDM表面距离为r的上下缓冲面。
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| 图 2 滚动球变换的物理描述 Fig. 2 Physical description of the rolling ball trans-formation |
数学形式上，等价于TIN-DDM正向缓冲体边界变换与负向缓冲体边界变换的组合，其表达式为
(1)
式中，T表示DDM的单值曲面；r表示滚动球半径；VU(r)表示正向滚动球变换；VD(r)表示负向滚动球变换；KU(r)表示对目标曲面生成上缓冲面；KD(r)表示对目标曲面生成下缓冲面。此外，文献[10]在分析滚动球上下轨迹曲面形态差异的基础上，通过分析滚动球接触点与滚动球半径之间的数值关联，顺次求解各TIN-DDM采样点与滚动球接触状态变化时的临界滚动球半径，构建了TIN-DDM采样点地形类型与滚动球半径的关联模型。即
(2)
式中，
若要实现TIN-DDM地形复杂度的有效度量，其关键在于寻找一种合理的采样点TCI表示方法，使得采样点之间能够通过TCI值的比较达到区分其所在地形形态变化特征差异的目的。
由于滚动球变换在TIN-DDM地形形态变化、识别及分析等方面具有严格的几何特征，故其大量应用于面向TIN-DDM的采样点地形类型识别、地形形态分割、缓冲体构建及多尺度表达等方面[10, 16-19]，并取得了较好的应用效果。因此，为探索关于TIN-DDM采样点TCI的表示方法，本文针对图 3所示的TIN-DDM纵向剖面(TIN-DDM上相邻的采样点A、B、C、…、H顺次连接形成)进行滚动球变换操作(图 3中以黑色虚线圆表示滚动球变换过程中的滚动球纵向剖面，其半径为r)。其中，TIN-DDM的上缓冲面和下缓冲面以“--·--”表示；正向和负向滚动球变换后的地形表面分别以黄色和紫色实线段表示。
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| 图 3 深度差值对采样点TCI定量化描述分析 Fig. 3 Quantitative description and analysis of TCI at sampling points by depth difference |
如图 3所示，相比于E、F、G、H所构成的TIN-DDM局部地形表面(绿色虚线框内区域)，A、B、C、D、E所构成的局部地形表面(红色虚线框内区域)起伏较大，且采样点间坡度变化明显，TIN-DDM在区域内表达的地形复杂程度明显较强。分别计算凸性地形采样点(B、D、F)和凹性地形采样点(C、E、G)与负向和正向滚动球变换后地形表面的深度差值(以下简称“深度差值”)
结合深度差值在数值上对图 3所示地形形态差异可进行有效表示，不难得出以下结论：深度差值具有定量化描述采样点所在局部地形复杂程度的能力，深度差值越大，采样点所表达的TIN-DDM局部地形的复杂程度越大；反之，深度差值越小，采样点所表达的TIN-DDM局部地形复杂程度越小。需要指出的是，区别于基于相邻三角面片空间关系的采样点TCI表示方法，深度差值的求取过程中并未直接对采样点划分局部地形区域，但TIN-DDM整体地形表面变化所引起采样点空间衍生关系的改变更能够直接表达采样点间所在局部地形的形态差异。如针对图 1所示的TIN-DDM单独求解C、F、K、M 4个采样点在某滚动球半径r下的深度差值(图 4)。其中，蓝色、绿色、黄色、黑色虚线圆分别表示采样点C、F、K、M求解深度差值的滚动球纵向抛面。
由图 4可知，采样点C、F、K、M的深度差值满足如下关系：
虽然作为反映局部地形形态变化特征的基本属性，TCI与TIN-DDM采样点所处的地形区域范围密切相关，但区别于传统TIN-DDM的TCI表示方法，1.2节所述方法并未直接规定采样点所处的地形区域范围(如一阶邻域)，而是直接将表示采样点所在地形形态变化特征差异作为探寻TCI表示方法的核心因素。值得注意的是，1.2节所述方法虽然规避了采样点所处的地形区域范围的识别与划分，但由于在滚动球变换过程中滚动球半径r大小的改变直接决定了TIN-DDM采样点空间衍生关系的变化程度，使得采样点在不同半径r下的深度差值对其TCI的表达效果不尽相同，最终影响了TIN-DDM地形复杂度的度量效果。故在通过式(2)区分任意TIN-DDM采样点Pi的地形类型属性(凸性地形或凹型地形)并利用深度差值表示采样点TCI的基础上，合理设定滚动球半径的数值大小是实现构建TIN-DDM采样点TCI计算模型的关键一步。
本节在滚动球变换过程中通过滚动球半径变化与深度差值的关联性分析，论述了符合TIN-DDM采样点TCI计算要求的最佳滚动球半径选取原则。如图 5所示，在相对较小的滚动球半径r下，求取在图 3中TIN-DDM采样点的深度差值。
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| 图 5 小半径下的最佳滚动球半径选取原则分析 Fig. 5 Analysis on selection principle of optimum rolling ball radius under small radius |
图 5中，由于滚动球变换过程中所应用的滚动球半径r过小，使得TIN-DDM采样点B、F、G在滚动球变换后所求取的深度差值为0。而该情况的出现会导致无法分析比较采样点B、F、G的复杂程度。故最佳滚动球半径r的设定原则应为：所有TIN-DDM采样点所求的深度差值最多有一点能够为0，以确保能够通过TCI值的比较区分所有采样点间的地形复杂程度，以实现TIN-DDM地形复杂度的有效度量。
如图 6所示，在相对较大的滚动球半径r下，求取在图 3中TIN-DDM采样点的深度差值。
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| 图 6 大半径下最佳滚动球半径选取原则分析 Fig. 6 Analysis on selection principle of optimum rolling ball radius under large radius |
图 6中，由于滚动球变换过程中所应用的滚动球半径r过大，造成了在相对平坦的TIN-DDM表面区域(E、F、G、H)中，所求取采样点E、F、G的深度差值过大。而该情况的出现会导致深度差值无法较好区分采样点所表达局部地形形态的差异。故最佳滚动球半径r的设定原则应为：仅有一个TIN-DDM采样点所求深度差值为0的最小半径。以确保在有效比较所有采样点间复杂程度的同时，实现采样点所表达局部地形形态差异最大程度上的区分。
由于临界滚动球半径具有反映TIN-DDM采样点与滚动球接触的临界状态的物理意义[10]，使得临界滚动球半径具备了界定深度差值是否为0的能力。如图 7(a)所示，采样点A的正负向临界滚动球半径存在
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| 图 7 临界滚动球半径与最佳滚动球半径关联性分析 Fig. 7 Correlation analysis of critical rolling radius and optimum rolling ball radius |
根据1.2节TIN-DDM采样点TCI的表示方法及本节有关最佳滚动球半径的求解过程，具体提出在TIN-DDM中任意采样点Pi的TCI计算模型
(3)
式中，TCI(Pi)表示采样点Pi的TCI；z表示采样点的深度值；roptimum表示最佳滚动求半径；1表示凸性地形；-1表示凹性地形。
2 TIN-DDM采样点TCI计算模型优化与复杂场的构建 2.1 嵌套地形采样点TCI的局限性分析与调节由于实际TIN-DDM表面上采样点分布方式复杂多样，在1.2节、1.3节分析阐述过程中，TIN-DDM所表达地形形态无法全面概括真实海底地形。仅将最佳滚动球半径下的深度差值作为采样点TCI，并不能满足所有TIN-DDM采样点局部地形复杂度的量化表达，在采样点地形属性表现为嵌套地形时易出现TCI值异常的情况，即相邻采样点所计算的深度差值差异过大。如图 8(a)所示，在最佳滚动球半径下对TIN-DDM纵向抛面的部分嵌套地形采样点(G、H、I)求取深度差值；G、H、I处于F、G、H、I、J所代表的局部平坦地形内，理论上G、H、I求取深度差值应该相近。
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| 图 8 采样点TCI局限性分析与调节 Fig. 8 Analysis and adjustment of TCI limitations of sampling points |
由于G、H、I所求的深度差值满足以下关系式：ΔdH > ΔdG > ΔdI，且ΔdH远大于ΔdG、ΔdI，造成了所得结论与理论分析不符。
根据式(2)嵌套地形采样点的判别条件与1.3节有关临界滚动球半径与深度差值的关联性分析可知，嵌套地形采样点与正向和负向滚动球变换后地形表面均可以计算深度差值，且相对于单纯的正、负地形采样点，嵌套地形采样点所在的局部地形本身就相对复杂。故为削弱嵌套地形采样点TCI值的差异，本文针对最佳临滚动球半径下的嵌套地形采样点，分别求取采样点与正向和负向滚动球变换后地形表面的深度差值，将两者间最大的值作为采样点TCI。以上述方式对图 8(a)中G、H、I的TCI进行调节，结果如图 8(b)所示。相对图 8(a)，图 8(b)中G、H、I所求的深度差值并未出现明显差异，故本文方法可以通过该方式对嵌套地形采样点TCI进行调节。
2.2 采样点TCI计算优化模型与复杂场计算流程虽然在TCI的表示方法中需要先判定采样点地形类型(凸性地形或凹性地形)然后计算(负向或正向)滚动球变换后地形表面的深度差值，但是由于正(负)地形采样点与正向(负向)滚动球变换后地形表面的深度差值为0，故也可以通过1.3节中比较采样点与正向和负向滚动球变换后地形表面深度差值大小的方式确定TCI。因此，在结合嵌套地形采样点TCI调节方法的基础上，本节对TIN-DDM采样点的TCI计算模型进行如下优化
(4)
式中，max(·)为最大值函数。然而，通过采样点间TCI比较的方式仍无法直观反映整体TIN-DDM的复杂程度变化。因此，本文采用自然邻点插值法对上述离散TCI进行内插。从而得到了连续的TIN-DDM复杂场，实现了TIN-DDM复杂度评估由离散点到面的跃升。主要步骤如下。
第1步：输入水深数据，构建TIN-DDM。
第2步：逐一遍历TIN-DDM中的采样点，并依据式(4)计算各TIN-DDM采样点的TCI。
第3步：采用自然邻点插值法对上述指值进行内插，即得到TIN-DDM复杂场，并输出结果。
对图 9(a)所示的TIN-DDM采样点根据式(4)计算各采样点的TCI，如图 9(b)所示，随后采用自然邻点插值法对其进行内插，并根据指标值的大小对试验结果显示成图(采用热力图的方式表示)，如图 9(c)所示。
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| 图 9 复杂场求取过程 Fig. 9 Complex field seeking process |
3 试验与分析
由于目前地形复杂度度量效果的评价方式并不完善，本文分别通过复杂场识别效果评判与采样点TCI约束下的DDM重构的方式，对地形复杂度的度量效果及TIN-DDM采样点TCI计算模型进行定性与定量评价。
3.1 试验数据本文选取了我国某海区内3组TIN-DDM水深数据集作为试验数据，试验数据的海底地形形态及整体统计指标如图 10、表 1所示。
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| 图 10 试验数据集的海底地形形态 Fig. 10 The seabed topography of the experimental dataset |
| 数据集 | 水深点个数 | 深度均值/m | 深度中位数/m | 深度方差/m2 | 深度最大值/m | 深度最小值/m |
| A | 9421 | -30.83 | -30.794 | 1.85 | -26.463 | -33.166 |
| B | 9694 | -33.06 | -33.085 | 0.467 | -31.175 | -34.365 |
| C | 12 774 | -62.07 | -66 | 261.58 | -13.3 | -95 |
数据集A的整体地形形态相对简单，仅在中部地形有明显的嵌套结构(红色椭圆区域)；数据集B的整体地形起伏相对较小，但地形表面较为粗糙，两端有近似于海底沙坡的连续地形结构(红色矩形区域)，中间也存在连续的凸状地形(蓝色矩形区域)；数据集C的整体地形态最为复杂，地形起伏也相对较大，既存在大范围的面状海底沙坡地形结构(红色多边形区域)，也存在条带状海底沟壑地形结构(蓝色梯形区域)，且部分区域地形形态相对破碎(绿色椭圆区域)。
3.2 TIN-DDM复杂度度量定性分析试验为检验本文方法对TIN-DDM地形复杂度的度量效果，即建立的TCI计算模型能否较好地区分TIN-DDM采样点所表达局部地形形态的差异，本节采用问卷调查、统计分析的方法，对3组数据集的TIN-DDM复杂场识别效果进行评估分析。根据海底地形形态领域的知识掌握水平，受调查者主要分为3类人群：普通人群(20人)、具有3年以上测绘工作经验的工程师(20人)及长期从事测绘科学研究的专家学者(10人)。3组数据集经受调查者划分的主要复杂区域与TIN-DDM复杂场如图 11所示，关于复杂区域识别效果的问卷调查统计结果如图 12所示。
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| 图 11 复杂地形识别与复杂场对比分析 Fig. 11 Complex terrain recognition and complex field contrastive analysis |
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| 图 12 总体识别效果 Fig. 12 Overall recognition effect statistics |
由图 11可以看出，由本文方法识别的复杂区域与受调查者划分的复杂区域基本一致，同时由图 12问卷调查的统计结果可知，3种类型人群对复杂场识别TIN-DDM复杂程度的效果基本相同，没有出现识别效果不一致的评价结果。因此，通过本文方法求取TIN-DDM复杂场能有效地反映出TIN-DDM地表形态的变化特征，符合复杂地形形态的认知感受。
3.3 TIN-DDM复杂度度量定量分析试验为定量比较TIN-DDM采样点TCI计算模型的优劣，分别通过本文方法和文献[8]方法计算采样点的TCI，并以该指标值作为约束条件对3组数据集进行自适应四叉树格网构建[20-22]，将真实DDM与格网重构DDM的均方根误差[23-25](root mean square error, RMSE)作为复杂度度量效果的定量评价指标。其中，自适应四叉树格网重构DDM的流程示意如图 13所示。需要指出的是，真实DDM通过高密度的等间距格网内插(Kriging)获得；计算自适应四叉树格网点水深时采用的是反距离加权法；DDM构建完后采用Kriging内插法提取DDM表面任意水深点。对比试验结果如图 14所示。
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| 图 13 自适应四叉树格网重构DDM的流程 Fig. 13 Flowchart of the process of adaptive quadtree grid reconstruction DDM |
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| 图 14 复杂度度量效果定量分析 Fig. 14 Quantitative analysis of complexity measurement effect |
试验结果表明，无论是整体地形相对简单的数据集A、B，还是整体地形复杂的数据集C，在本文方法计算的TIN-DDM采样点TCI约束下，自适应格网重构的DDM均更贴合原始DDM。
综合分析上述试验结果可知：①本文方法所建立的TCI计算模型可较好地区分TIN-DDM采样点所表达局部地形形态差异, 使得依指标构建的复杂场反映了TIN-DDM地表形态变化特征，且适用性较强；②相对于文献[8]方法，本文方法中的TIN-DDM采样点TCI计算模型更为有效。需要指出的是，由于TCI计算模型区分采样点所表达局部地形形态差异的能力决定了地形复杂度度量效果的好坏，故定量试验效果的优劣也可以从侧面证明，相对于文献[8]方法，本文方法TCI计算模型能够更好地区分局部地形形态的差异。
4 结论及展望本文论述了当前主流TIN-DDM地形复杂度度量方法在采样点TCI计算模型构建中存在的相关问题，并提出了基于滚动球变换的TIN-DDM采样点TCI计算模型，设计了TIN-DDM地形复杂度的度量方法，实现了TIN-DDM地形复杂度的有效度量，达到了通过指标值比较反映地表形态变化特征的目的。本文方法的创新在于将滚动球变换过程中采样点深度的变化引入TIN-DDM采样点TCI计算模型构建过程。经试验对比，验证了本文方法具有更好的度量效果。值得指出的是，本文方法在复杂度度量中仍受限于TIN-DDM缓冲面构建效率的限制，下一步将研究TIN-DDM缓冲面构建的自适应分块及并行运算，以实现方法效率的显著提升。此外，本文中的TIN-DDM复杂度定量分析试验本质上是建立在复杂地形DDM重构效果对RMSE影响较大的基础上，下一步应探索多种复杂度度量效果的定量评价指标，以完善其评价体系。
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